Come probabilmente avrete appreso dai quotidiani e poi, di rimbalzo, dai social, in una delle mie classi è accaduta una cosa davvero incredibile e molto molto emozionante: i bambini della mia classe 4C sono arrivati ad elaborare un piccolo Teorema, che riguarda una proprietà dei numeri triangolari, e ci sono arrivati autonomamente, dopo un lavoro di sperimentazione laboratoriale.
Questa cosa è accaduta ormai qualche mese fa, ma ho voluto aspettare a raccontarla perché ho preferito consultarmi con alcuni esperti che mi dessero consigli su come procedere o come gestire la cosa sia dal punto di vista matematico che didattico. Poi, nelle ultime settimane di maggio, l’emozione mia e dei miei ragazzi era così grande che la notizia è trapelata anche sulla stampa locale e sono usciti gli articoli che probabilmente avrete letto.
Ci tengo però immensamente a raccontare personalmente e con maggiori dettagli quello che è successo, per spiegare dal punto di vista didattico come siamo arrivati a una tale scoperta e grazie a quali attività e percorsi.
Tutto è partito a causa del 2025!
Lo scorso gennaio i bambini di classe quarta avevano scoperto le proprietà del numero 2025 (dato che quello era il numero del nuovo anno). Non so se avete seguito sui social, durante le vacanze di Natale, i post proposti da me e Simona Fiorentino (@ludomatica) riguardo alle proprietà matematiche del 2025 e alle attività didattiche proporre in classe a inizio gennaio per giocare assieme ai bambini. Ecco, siamo partiti esattamente da lì! Principalmente dal fatto che 2025 è un numero quadrato.
I bambini conoscevano già in modo semplice i numeri rettangolari, quadrati e triangolari dalla classe seconda, perché li avevano costruiti con i sassolini e avevano scoperto le loro semplici proprietà attraverso la storia di Pitagora. Ma ora abbiamo voluto studiarne meglio le caratteristiche attraverso la costruzione con i cubetti.
In particolare, abbiamo utilizzato questi cubetti ad incastro, che potete trovare a questo link nella versione che abbiamo utilizzato anche noi, oppure a questo link in una versione simile alla nostra.
Avevamo quindi scoperto insieme che 2025 è un quadrato, più precisamente il quadrato di 45, e a sua volta 45 è un numero triangolare. Quindi abbiamo costruito il 2025 usando appunto 2025 cubetti ad incastro!
Qui sotto potete vedere il quadrato 2025, con lato 45 (1+2+3+4+5+6+7+8+9) che, come mostra il Teorema di Nicomaco, può essere scomposto nella somma dei primi 9 cubi 1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+8³+9³.
Insieme avevamo costruito i quadrati per formare i cubi di ogni numero da 1 a 9 e i bambini si divertivano a comporre il grande quadrato 2025 e poi a scomporlo per formare tutti i cubi in successione. Pensate che dopo questo lavoro che li ha entusiasmati e colpiti moltissimo, i bambini stessi mi hanno chiesto di “interrogarli” in matematica mentre mi spiegavano che cosa succedeva attraverso le parole del Teorema di Nicomaco e la manipolazione dei cubetti (le “interrogazioni di matematica” consistevano in un breve video che io giravo mentre loro spiegavano ciò che avevano rielaborato dopo la scoperta effettuata insieme).
Un’altra proprietà dei numeri quadrati che avevano osservato i bambini attraverso una costruzione con i cubetti era quella che la somma di numeri dispari successivi partendo da 1 formava sempre un quadrato.
Dopo aver costruito quadrati e cubi ci siamo soffermati sull’analisi delle proprietà conosciute dei numeri triangolari.
I numeri triangolari (ricordo) sono sempre la somma di numeri successivi partendo da 1 e si possono rappresentare con la forma appunto di un triangolo.
Ad esempio il primo numero triangolare è 1.
Il secondo numero triangolare è 1 + 2 = 3.
Il terzo numero triangolare è 1 + 2 + 3 = 6.
Il quarto è 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
E così via.
Con i cubetti, i bambini hanno facilmente costruito i numeri triangolari sotto forma di triangoli rettangoli isosceli che partivano sempre con una colonna formata da un solo cubetto a sinistra e poi proseguivano con una colonna formata da due cubetti, una da tre cubetti e così via, come nell’immagine riportata qui sopra.
Per rendere più stabili le costruzioni con i cubetti, le avevamo rinforzate con il nastro adesivo (altrimenti non appena cadevano o finivano nelle mani di qualche bambino un po’ più irruento i triangoli, così come i quadrati, si spezzavano e bisognava ricomporli sempre da capo!). Inoltre, sopra ad ogni triangolo, per non dover ricontare ogni volta i cubetti, avevamo scritto il suo numero (cioè il numero di cubetti di cui era composto). Avevamo così costruito la successione geometrica dei primi 10 numeri triangolari. Successione che potrebbe continuare anche all’infinito!
Attraverso diverse attività di laboratorio pratico, i bambini si sono accorti di alcune proprietà conosciute dei numeri triangolari che io già conoscevo. Per loro è stato semplice, perché attraverso la manipolazione pratica delle costruzioni fatte con i cubetti potevano osservare nello spazio che cosa accadeva se le univano in diversi modi. Ad esempio hanno scoperto che la somma di due numeri triangolari successivi forma sempre un quadrato o che la somma di due numeri triangolari uguali forma un rettangolo che ha un lato uguale a quello finale del triangolo (la colonna più alta o il cateto) e l’altro lato lungo sempre un cubetto in più. Questi rettangoli sono quindi sempre il prodotto di due numeri successivi (in matematica questi vengono chiamati anche “numeri oblunghi”, cioè formano rettangoli simili ai quadrati, ma con solo una colonna in più!).
Insomma, tante belle scoperte guidate e affrontate attraverso attività pratiche e laboratoriali. Io ho fornito loro sempre i cubetti e li ho lasciati lavorare in piccolo gruppo, facendo solo domande generali per vedere se riuscivano a scoprire le proprietà conosciute (per me, ma non per loro!) sui numeri triangolari. Con la manipolazione è stato per loro semplice e immediato prendere dimestichezza con il materiale e scoprire le caratteristiche di questi numeri, spiegandole con le loro parole e attraverso le costruzioni.
È stato un lavoro in parte guidato, ma che li ha resi curiosi e consapevoli del fatto che in matematica si possono scoprire tante regole che riguardano la geometria, ma anche l’aritmetica e i numeri e che tutto è connesso.
Una mattina stavamo tirando le fila e sistematizzando le idee di tutto questo gran lavoro laboratoriale svolto ed è successa una cosa inaspettata, ma al tempo stesso quasi inevitabile, quando si opera attraverso la metodologia del laboratorio: i bambini sono andati oltre, facendo una scoperta nuova!
Tutto è iniziato con un bambino che, alzando la mano, ha detto: “Maestra io ho notato che per fare il triangolo 15 puoi unire un triangolo 6, un triangolo 3 e poi altri due triangoli 3, uno sopra e l’altro sotto”.
Al suo intervento io lo stavo quasi liquidando come se avesse fatto una scoperta casuale, ma osservando i suoi gesti mentre spiegava la cosa curiosa che aveva notato sono rimasta colpita e al tempo stesso dubbiosa: era una cosa casuale, che accadeva solo per il triangolo 15, oppure no?
Mentre il bambino parlava, i compagni avevano sotto mano i cubetti e hanno immediatamente provato a replicare il suo esperimento, constatando che era vero ed era un fatto curioso. Così immediatamente qualcuno di loro ha iniziato a dire: “Forse si riescono a costruire anche gli altri numeri triangoli allo stesso modo!”. Allora ho detto: “Ok, proviamo!”.
Una dopo l’altra hanno iniziato ad alzarsi mani e voci di bambini qua e là per la classe che trovavano sempre modi analoghi per comporre i triangoli. “Maestra!!! Sì! Succede anche al 10!” “Io ho provato con il 21 e viene!” “Anche se usi tre 6 e un 3 si forma un triangolo!” “Ma che bello, allora è vero!”
E’ stato un momento meraviglioso e profondamente emozionante, uno di quelli in cui li vedi con la scintilla negli occhi che stanno scoprendo qualcosa di magico con mente e mani insieme. Erano inarrestabili e presissimi tanto che hanno iniziato a dire: “Maestra! Abbiamo scoperto un teorema!!!”.
Perché hanno usato proprio il termine “teorema”?
Ne avevamo parlato tempo fa a proposito di alcune importanti situazioni tratte dalla storia della matematica.
La prima riguardava la Congettura di Goldbach: avevamo letto la congettura che, a prima vista, sembra semplicissima e molto intuitiva: “Ogni numero pari maggiore di due può essere scritto come somma di due numeri primi”. I bambini avevano provato a utilizzare i numeri primi per comporre i numeri pari e, anche superando ampiamente il 100, i tentativi andavano sempre a buon fine: sembrava tutto così evidente!
Eppure alla matematica non bastano i tentativi: bisogna arrivare a dimostrare la propria idea, trovando una regola generale che valga per qualsiasi numero! Non solo quelli per cui abbiamo provato! Ecco che allora la Congettura può diventare un Teorema (cioè una verità matematica) solo se si trova una dimostrazione rigorosa.
E ad oggi ancora non si è trovata una dimostrazione per la Congettura di Goldbach, quindi essa non può dirsi una regola sempre vera, ma solo un’ipotesi non ancora generalizzabile… Tra l’altro, alla notizia alcuni bambini hanno esclamato: “Beh, vorrà dire che da grande la dimostrerò io!”. 😊
Il secondo momento in cui avevamo già sentito parlare di congetture e teoremi era stato quando avevamo parlato del Teorema dei quattro colori.
Avevamo costruito delle tassellazioni e volevamo colorarle usando il minor numero possibile di colori, ma senza mai avere due regioni o forme confinanti del medesimo colore. Provando su tantissimi tipi di tassellazioni diverse e anche su cartine politiche di svariati luoghi del mondo, ci eravamo accorti che per colorare qualsiasi disegno secondo questo criterio bastano 4 colori (a volte anche meno, ma non più di 4!). Anche qui avevamo solo fatto dei tentativi, ma ci era venuto il dubbio che fosse solo un caso, o che magari esistesse un disegno particolarmente intricato che non era tra i nostri per il quale la regola non funzionasse.
Perciò ho raccontato loro la storia del Teorema dei quattro colori. Nel 1852 il matematico Francis Guthrie, colorando alcune cartine politiche dell’epoca, aveva formulato la sua ipotesi proponendo una Congettura. Per molti anni i matematici, incuriositi dall’idea lanciata da Francis Guthrie, provarono a dimostrare il problema in diversi modi. Ma la definitiva dimostrazione del teorema per quattro soli colori è arrivata solo nel 1977 da parte di Kenneth Appel e Wolfgang Haken, due matematici dell’Università dell’Illinois, grazie a un complesso algoritmo informatico. Anche in questo caso, una Congettura era diventata un Teorema grazie alla dimostrazione, più di 100 anni dopo la sua prima formulazione!
Nella prima immagine Francis Gouthrie; nella seconda: Kenneth Appel e Wolfgang Haken
Anche a proposito del Teorema di Nicomaco i bambini avevano sentito parlare di Teorema come una regola dimostrata che vale sempre, in quel caso anche per il numero 2025.
Questo mostra che i bambini conoscevano già la parola Teorema e proprio a causa dell’emozione vissuta nell’aver visto concretizzarsi un’idea ipotizzata attraverso una (seppur semplice) dimostrazione, hanno immediatamente fatto ricorso a questo termine per definire la loro scoperta. Sembrava solo un’idea, ma i fatti hanno mostrato che forse poteva essere sempre vera!
Sarà stato davvero un Teorema? Mancava solo la dimostrazione…
Dopo il momento iniziale di soli tentativi pratici con i cubetti, ho voluto andare oltre e chiedere ai bambini: “Ma secondo voi varrà sempre o ci sono solo capitati alcuni casi fortunati? Come spieghereste questa vostra regola?”. I bambini hanno iniziato a dire che basta sempre prendere tre numeri triangolari uguali e unirli a un altro numero triangolare, ma non qualsiasi! Bisogna sempre prendere un triangolo appena precedente oppure successivo ad essi. Altrimenti non funziona. Dai cubetti siamo così passati ai numeri e abbiamo provato a scrivere le nostre osservazioni utilizzando l’aritmetica.
Ecco la nostra primissima scrittura sulla lavagna, fatta quasi di getto per verificare se la regola ipotizzata funzionasse per i primi dieci numeri triangolari:
Sembrava proprio funzionare, insomma! I bambini, instancabili, continuavano a provare e veniva sempre. Allora hanno provato a spiegare la loro regola in questo modo: “Se uniamo tre triangoli uguali al numero triangolare precedente oppure al suo successivo otteniamo sempre un altro numero triangolare!”
Il suono della campanella quel giorno era vicino (era un giovedì ed era da poco passato mezzogiorno, lo ricordo benissimo!) quindi ho spiegato ai bambini che la loro intuizione era davvero interessante e da confermare, ma bisognava approfondire meglio e capire se fosse davvero una regola o solo una fortunata casualità. Ho detto che ne avremmo riparlato un altro momento, mostrando però loro la mia sorpresa e la mia grande soddisfazione nel vederli così coinvolti (tutti, davvero, anche chi di solito è un po’ più “nascosto”, contagiato dall’emozione generale, si era messo al lavoro per provare a verificare la proprietà con i cubetti ed era curioso di conoscere se davvero si trattava di una qualche nuova regola scoperta).
Dopo il momento di entusiasmo iniziale vissuto in classe, con calma mi sono messa a tavolino e ho voluto approfondire immediatamente se la cosa avesse effettivamente un valore.
La prima cosa che ho fatto, appena tornata a casa, è stata contattare la mia cara amica matematica Antonella Castellini e chiederle un parere. Chi meglio di lei? Da sempre ha lavorato in classe con i suoi studenti di scuola secondaria con l’Aritmogeometria (la parte della matematica che studia i numeri e le loro relazioni geometriche, come appunto i numeri quadrati, triangolari e così via), quindi non potevo che riferirmi in primo luogo che a lei.
Ad Antonella avevo mostrato la foto della lavagna e un mio disegno delle costruzioni dei bambini fatte con i cubetti, abbozzato su un foglio a quadretti. Lei in poco tempo mi ha risposto, dimostrandosi subito entusiasta della scoperta dei bambini. Non solo, aveva buttato giù una dimostrazione algebrica utilizzando proprio la formula di Gauss (nota per essere la formula che genera i numeri triangolari, dato che i triangolari sono formati dalla somma di numeri successivi partendo da 1). Ecco i suoi primi appunti:
Inoltre aveva anche notato una curiosa proprietà, all’interno della regola scoperta, che permetteva di generare numeri triangolari di posizione pari oppure dispari.
Quindi non solo sembrava che tutto avesse effettivamente un senso (c’era la dimostrazione algebrica! Quindi la regola scoperta dai bambini era vera!), ma c’era anche di più! Una sistematizzazione ulteriore che permetteva di rendere la scoperta ancora più interessante!
Antonella, emozionata come me, ha subito puntato l’accento sul fatto che questo lavoro poteva essere arricchito con un confronto “in verticale” con altri ordini di scuola: sarebbe stato meraviglioso poter esporre il teorema elaborato dai bambini a una classe di scuola secondaria di primo o secondo grado e chiedere ai ragazzi più grandi di individuare la dimostrazione algebrica. Così ne ha parlato con altri suoi colleghi insegnanti.
Nel frattempo anch’io ho voluto procedere con cautela e ho contattato altri conoscenti matematici ed esperti in didattica della matematica per chiedere ulteriori pareri. Tutti hanno dimostrato un grande interesse nella cosa, soprattutto dal punto di vista didattico: i bambini infatti avevano scoperto empiricamente, tramite un’attività laboratoriale, una regola generalizzabile. Inoltre, nessuno di loro conosceva questa proprietà dei numeri triangolari, non ne avevano mai sentito parlare.
Uno di loro mi ha detto che dal punto di vista matematico la regola era sicuramente molto semplice e probabilmente di poca “utilità pratica”, ma al di là di questo era stata comunque una loro grande scoperta poiché scaturita da un ragionamento costruito insieme e nato dall’esperienza pratica. Il valore didattico di questa scoperta era enorme. È l’applicazione del metodo scientifico ai concetti matematici: attraverso il laboratorio i bambini hanno la possibilità di sperimentare e quindi di incuriosirsi e fare domande, di fare ipotesi e verificarle e se funzionano generalizzarle per arrivare a una regola generale dimostrabile.
Il punto cruciale era che questa scoperta empirica fatta da bambini così piccoli è sicuramente una cosa di grande importanza, al di là del fatto che questa proprietà fosse conosciuta o meno.
Tornata in classe qualche giorno dopo ho comunicato ai bambini che la regola che avevano trovato era corretta e che alcuni matematici mi stavano aiutando a dimostrarla. Per loro è stata una gioia immensa (un urlo di gioia penso abbia raggiunto tutta la scuola!) e così hanno voluto registrare alcuni brevi video (ricordate le “interrogazioni”?) in cui provavano a spiegare il loro teorema e a mostrare con i cubetti che cosa intendevano. Il “Teorema della 4C” stava sempre più prendendo forma: ora non era solamente un’ipotesi, ma una bella proprietà che si poteva descrivere e spiegare sia con i cubetti, che con il disegno, che con i numeri!
Nel frattempo, i giorni a seguire, io mi sono messa a consultare libri e risorse online, addirittura manuali di inizio ‘900, ma tra le centinaia di proprietà descritte sui numeri triangolari, questa non l’avevo proprio trovata.
Sono passate diverse settimane. Volevo che questa cosa, che sia per me che per i bambini era di grande importanza, fosse studiata bene, prima di essere elaborata.
I bambini, a cui stava estremamente a cuore conoscere l’esito della faccenda, periodicamente tornavano a chiedermi: “Ma hanno risposto i matematici?” e io li aggiornavo sempre sulle novità che c’erano.
Finché…abbiamo iniziato a parlarne tra colleghi e, sull’onda dell’entusiasmo che ha contagiato piano piano tutti, siamo stati messi in contatto con Fabio Bernasconi, un matematico originario di un paese vicino al nostro, docente presso l’Università La Sapienza di Roma.
Ricordo la prima volta che ho parlato con Fabio al telefono: mentre enunciavo la regola che avevano scoperto i bambini lui è corso a prendere carta e penna e a provare a dimostrarla, d’istinto. È rimasto estremamente colpito dal fatto che la proprietà fosse stata scoperta e descritta da bambini di scuola primaria attraverso una costruzione geometrica e immediatamente ci ha proposto di incontrarlo a scuola! Per noi è stato un grande onore!
A quel punto, visto che i bambini avrebbero dovuto spiegare bene a un matematico il loro Teorema, abbiamo deciso di esplicitare la nostra scoperta nel modo più chiaro e preciso possibile, anche attraverso un’attività di sistematizzazione sul quaderno e su un cartellone riassuntivo.
E durante quella lezione è successa un’altra cosa meravigliosa: hanno iniziato naturalmente a parlare il “matematichese” (che per noi è “la lingua della matematica” e cioè l’utilizzo del linguaggio specifico attraverso la sintesi, l’efficacia e la chiarezza maggiore possibile) discutendo e argomentando tra loro in modo da costruire la definizione migliore che potessero della proprietà che avevano scoperto.
Ho chiesto loro di provare a spiegare a qualcuno che non sapesse nulla del nostro lavoro il loro Teorema (cosa che avrebbero dovuto poi fare sia con il matematico Fabio Bernasconi, sia con i loro genitori o parenti che magari non sapevano nemmeno che cosa fossero i numeri triangolari!).
Hanno iniziato a spiegare usando le loro parole semplici, ma mentre un compagno parlava, gli altri intervenivano alzando la mano per migliorare la frase che diceva. Io nel frattempo scrivevo le loro parole alla lavagna e, se potevamo migliorarle, cancellavo alcune parole e le sostituivo con le correzioni. Più o meno (vado a ricordi) il percorso seguito dai bambini è stato questo (e guardate che bellezza!!!):
“Se mettiamo vicini un numero triangolare e quello precedente oppure quello successivo e poi altri due numeri triangolari uguali al primo, uno sopra e uno sotto, otteniamo un altro numero triangolare” (–> ma è un po’ lunga e poco comprensibile spiegata così…)
“Se uniamo tre numeri triangolari uguali con un altro numero triangolare precedente o successivo, otteniamo un altro numero triangolare” (–> ma unire vuol dire sommare!)
“Se sommiamo tre numeri triangolari uguali con un altro numero triangolare precedente o successivo, otteniamo un altro numero triangolare” (–> ma non è meglio dire “la somma” invece che “se sommiamo”?)
“La somma di tre numeri triangolari uguali con un altro numero triangolare precedente o successivo forma un altro numero triangolare” (–> ma la somma di tre numeri uguali è una moltiplicazione!)
“La moltiplicazione tra tre numeri triangolari uguali sommati con il numero triangolare precedente o successivo forma un altro numero triangolare” (–> ma la moltiplicazione tra tre numeri uguali è il triplo!)
“Il triplo di un numero triangolare sommato con il numero triangolare precedente oppure successivo forma un altro numero triangolare” (–> però è meglio dire che lo forma sempre, perché altrimenti sembra che lo formi solo qualche volta!)
“Il triplo di un numero triangolare sommato con il numero triangolare precedente oppure successivo forma sempre un altro numero triangolare” (–> ma non è meglio dire “equivale a”?)
Dunque, alla fine del lavoro di costruzione e argomentazione sul linguaggio matematico, ecco l’enunciato del nostro Teorema:
“Il triplo di un numero triangolare sommato con il numero triangolare precedente oppure successivo equivale sempre a un altro numero triangolare”.
Ecco come abbiamo esplicitato sul quaderno tutto il nostro lavoro, anche attraverso il disegno dei triangoli costruiti con i cubetti.
In particolare, ho voluto portare i bambini anche a ragionare su che cosa accadesse sommando il numero triangolare precedente oppure quello successivo: nel primo caso il numero triangolare che si forma è sempre in posizione pari, mentre nel secondo caso è sempre in posizione dispari (ho voluto far loro notare la bella proprietà sottolineata da Antonella).
Ecco anche il nostro cartellone riassuntivo.
Ed infine, ecco la nostra dimostrazione empirica fatta attraverso l’uso dei cubetti:
Una cosa davvero affascinante che è emersa (ma questo già quasi subito, i primissimi giorni dopo la scoperta) è che un bambino ha voluto rappresentare “Il Teorema della 4C” attraverso un logo, molto particolare perché contiene in sé la proprietà scoperta dai bambini e dà l’idea di come questa possa continuare anche all’infinito. Ecco il logo:
Molto affascinante, non trovate?
Al termine di questo lavoro, è emersa una riflessione importante da parte dei bambini. Mi hanno detto che la costruzione di questo “teorema” è stata possibile solamente perché condivisa tra tutti loro: uno di loro ha lanciato un’ipotesi, si è confrontato con gli altri e tutti hanno provato a verificarla scoprendo che per un certo numero di tentativi vale sempre, quindi hanno generalizzato la loro idea, facendo un po’ il vero lavoro dei matematici. La condivisione ha avuto un ruolo fondamentale in questa scoperta e i bambini l’hanno riconosciuto!
Tutto questo inoltre è stato possibile soprattutto grazie al laboratorio matematico, approccio in cui io credo moltissimo perché è il modo più naturale attraverso cui i bambini apprendono e perché permette loro di imparare per scoperta, con interesse autentico e motivazione.
Infine, ma non da ultimo, la scoperta è nata anche perché è stato dato ascolto ai bambini. Se non li avessi ascoltati, se non mi fossi lasciata condurre da loro in una strada che non avevo pensato di intraprendere, se avessi minimizzato e detto loro che quella cosa non c’entrava con quello che stavamo facendo perché non inerente al percorso che io avevo in mente per loro, tutto questo non sarebbe successo! Ho voluto fidarmi di una loro intuizione. Ho voluto “perdere tempo” per ascoltare una proposta che io all’inizio nemmeno avevo forse compreso appieno, non ho tagliato corto dicendo: “Lasciamo perdere”. Questa è un’altra grande cosa che mi ha insegnato il laboratorio: i bambini hanno delle meravigliose menti pensanti e creative ed è necessario che esse si esprimano ed elaborino le loro idee innovative. Possiamo guidarli, possiamo accompagnarli a sviluppare un percorso su una strada conosciuta, ma poi non dobbiamo frenarli se vogliono esplorare territori nuovi, anzi, li dobbiamo incoraggiare! Ci dobbiamo lasciare sorprendere! Ci dobbiamo profondamente fidare di loro, come loro si fidano di noi!
E’ stata una scelta coraggiosa quella di lasciare che fossero loro per una volta a condurre me e non il contrario. Ma questa scelta è stata assolutamente giusta! E incoraggiarli è stata sia per me che per loro una delle lezioni più importanti che potessimo imparare! Per loro, perché si sono resi conto di poter fare grandi cose, di essere capaci, di essere competenti. Per me, perché ho constatato ancora una volta che i bambini ti possono sorprendere, ti possono stravolgere, ti possono emozionare…ti possono far imparare qualcosa di nuovo! Perché nel nostro lavoro si insegna e si impara costantemente, non esiste una dimensione senza l’altra.
Tornando al nostro lavoro di sistematizzazione, i bambini avevano poi il compito di provare a spiegare ai loro familiari il teorema da loro elaborato, per prepararsi al meglio a spiegarlo al matematico Fabio Bernasconi che sarebbe venuto a trovarli in classe. I bambini erano molto emozionati, ma al tempo stesso desiderosi di far conoscere la loro scoperta.
Quando Fabio è arrivato, abbiamo chiamato i bambini di tutte e tre le classi quarte (non solo la C) in aula Universo così avrebbero potuto conoscerlo e fargli alcune domande.
Fabio è subito rimasto colpito dai disegni delle tassellazioni aperiodiche con le piastrelle “The Hat”-Einstein e “The spectre” che avevamo appese a un muro, dicendo ai bambini che quella era una scoperta recente e che non si aspettava di vederla in una classe di scuola primaria! Continuava a guardarsi intorno perché in effetti la nostra aula di matematica e scienze è piena zeppa di cose matematiche curiose!
Per prima cosa ha raccontato ai bambini che lui è un matematico che ha studiato in diversi stati del mondo ed ora è professore all’Università La Sapienza di Roma. Ha detto che il suo ambito principale di studio è la geometria e che il suo primo teorema lui lo aveva elaborato a 27 anni! Quindi faceva i complimenti ai bambini per la loro scoperta in tenera età!
I bambini hanno risposto: “Beh, tu avevi 27 anni, ma lo hai scoperto da solo! Noi invece abbiamo dovuto aiutarci a vicenda!” ed è stato allora che Fabio ha detto loro una delle frasi che difficilmente dimenticheranno. Ha detto: “No, non l’ho scoperto da solo. I matematici si aiutano sempre, collaborano, si scambiano idee. Anch’io quando ho elaborato il mio teorema lavoravo insieme ad altri matematici. Dovete sapere infatti che anche voi avete fatto quello che fanno i matematici veri normalmente: per prima cosa i matematici sono curiosi, si fanno delle domande, si chiedono che cosa potrebbe succedere se agiscono in un certo modo, osservano e fanno delle ipotesi. Poi provano, fanno dei tentativi e chiedono pareri agli altri, si confrontano. Infine arrivano a una regola lavorando insieme”.
Da questo i bambini hanno capito che non era stato un caso quello che era accaduto in classe: loro stavano procedendo con lo stesso metodo dei matematici. Questo li ha fatti sentire ancora più importanti e anche consapevoli che il lavoro del matematico è di ricerca, di sperimentazione, ma anche di gioco condiviso.
Non solo per i bambini questa è stata una lezione importante: lo è stata anche per me! Mi ha dato ulteriore conferma del fatto che anche se spesso si sente la fatica nel lavorare in un modo esperienziale con i bambini, si è sulla strada giusta! E questa strada può portare davvero lontano!
Fabio ha poi detto ai bambini che la scoperta che avevano fatto era bella perché rende evidente come geometria ed aritmetica/algebra siano profondamente legate: lo si vede dalle loro costruzioni geometriche che hanno poi portato a una regola legata ai numeri.
Ha citato un matematico (ora non ricordo il nome purtroppo!) al quale qualcuno aveva chiesto se fosse più importante l’algebra o la geometria. Lui aveva risposto chiedendo: “Preferiresti essere cieco o sordo?”. Questo significa che l’algebra non può slegarsi dalla geometria e viceversa e non esistono concetti che possano essere trattati solo da una o solo dall’altra branca della matematica in modo esaustivo. Mancherebbe sempre qualcosa! Altro insegnamento importante: ecco perché noi non siamo soliti considerare argomenti separati, quaderni specifici o ore dedicate ad esempio esclusivamente alla geometria: tutto è una contaminazione! Tutto è matematica!
I bambini hanno poi mostrato a Fabio la loro linea del tempo con tutte le facce dei matematici che hanno conosciuto e gli hanno chiesto se avrebbero potuto inserire anche lui sulla linea! Poi gli hanno chiesto quale fosse il suo matematico preferito. Lui ha detto che di matematici ne aveva conosciuti tanti (anche di matematiche donne! Alcune davvero brave e anche molto simpatiche!), ma il suo preferito era un matematico giapponese: Shigefumi Mori, tutt’ora vivente e che lui aveva avuto l’onore di incontrare qualche anno prima.
Dopo aver fatto a Fabio altre interessanti domande, i bambini hanno poi voluto spiegargli il loro Teorema e mostrargli la loro dimostrazione con i cubetti.
È stato un momento davvero bello, perché Fabio si è seduto per terra in mezzo ai bambini, ha fatto alzare in piedi chi se la sentiva di spiegare il Teorema e lui si è messo ad ascoltare. I bambini, emozionatissimi, hanno iniziato a spiegare indicando il cartellone e prendendo in mano i cubetti, anche facendo diversi esempi, un po’ ciascuno.
Fabio li ha molto lodati e ha chiesto loro come avevano fatto a scoprire questa regola, così uno alla volta hanno raccontato la vicenda.
Alla fine, un bambino molto spontaneamente ha voluto fare un piccolo regalo a Fabio: gli ha donato un piccolo nastro di Möbius fatto con le sue mani! Inutile dire che anche in questa occasione Fabio è rimasto molto sorpreso. Dopo aver incontrato i bambini mi ha riferito di essere molto contento e stupefatto di aver visto nei bambini così tanta passione nei confronti della matematica e una conoscenza dei suoi aspetti più belli, affascinanti e anche storici. Non si sarebbe mai aspettato di arrivare in una scuola primaria e di trovare questo. Abbiamo discusso a lungo sul fatto che la matematica in classe andrebbe proprio insegnata partendo dalla passione, dal senso e dalla scoperta delle curiosità e delle bellezze di questa disciplina, a volte difficile, ma anche così stimolante!
Infine mi ha suggerito di parlare in termini didattici di questa scoperta su riviste di didattica della matematica oppure in sedi come convegni o incontri dedicati all’insegnamento della matematica a scuola: lui mi ha detto che sarebbe stato un ottimo modo sia per far conoscere l’efficacia della metodologia del laboratorio, sia per far comprendere che l’insegnamento della matematica a scuola deve andare verso questa direzione.
All’incontro con Fabio Bernasconi erano presenti anche la nostra Vicepreside e una giornalista di un giornale locale (una seconda giornalista ci aveva contattato solo telefonicamente e via mail). La stampa locale si è dimostrata molto interessata alla cosa e ha voluto riportare sui due giornali locali, sabato 31 maggio, degli articoli che parlassero della vicenda. Addirittura un giornale ci ha messi in prima pagina! Riporto qui sotto gli articoli redatti dalle giornaliste. Si tratta di “La Provincia di Como” e di “Il Giornale di Olgiate”, un quotidiano e un settimanale molto diffusi sul nostro territorio.
La notizia è arrivata sui giornali soprattutto per riportare una cosa bella e inconsueta accaduta in una scuola primaria: l’intento era mettere in luce l’avvenimento per far capire che a scuola possono accadere anche cose grandi e meravigliose!
Io ero molto dubbiosa i giorni precedenti all’uscita degli articoli sui giornali, principalmente perché avevo parlato con le giornaliste, ma non sapevo di fatto che cosa avrebbero scritto o se la notizia fosse stata “capita” dai più. La nostra Vicepreside però ci teneva a dare il giusto risalto per lo meno sul nostro territorio, soprattutto per far conoscere la nostra realtà, un po’ diversa da tante altre, e per dare la giusta gratificazione ai bambini che, davvero, avevano fatto una gran cosa.
Solo che…come spesso accade quando si arriva sulla stampa, le notizie viaggiano più veloci di quanto si vorrebbe. Ben presto (con le migliori intenzioni di tutti) gli articoli sono diventati letteralmente virali sui social (in particolare su Facebook). E proprio qui…ne sono successe davvero di tutti i colori!
Ma anche qualcosa di molto molto molto bello è accaduto grazie a questi articoli! E io che sono una persona che cerca sempre il lato positivo delle cose, dopo qualche momento iniziale di sconforto generale nel leggere i soliti 4 commenti disfattisti, ho pensato: “Dai, alla fine quello che è successo è incredibilmente fantastico!!!”.
Sì, perché la risonanza di questa notizia è arrivata letteralmente in tutta Italia (e anche oltre) e da quel giorno sono arrivate tantissime mail, messaggi, commenti, whatsapp, telefonate da gente di tutti i generi che ha voluto dare il proprio contributo alla meravigliosa scoperta fatta dai bambini!
Professori universitari, studenti del liceo, insegnanti, formatori, semplici appassionati di matematica che hanno voluto scrivermi per complimentarsi con i bambini e inviare la loro dimostrazione del teorema elaborato in classe 4C oppure il loro personale contributo.
Questa è stata la cosa che più di tutte mi ha riempito il cuore di bellezza ed entusiasmo! Questo era lo spirito della scoperta! CONDIVISIONE!
In questa bellissima collaborazione qualcuno mi ha segnalato che la proprietà dei numeri triangolari era già nota (come sempre io avevo sospettato, ma né io né le persone che avevo contattato avevamo trovato da nessuna parte). Però diciamo che non era nota nella bibliografia italiana ed era comunque una proprietà scoperta in tempi abbastanza recenti (intorno agli anni ’90).
Questo nulla toglie alla scoperta fatta dai bambini in classe! Loro hanno anzi trovato un modo del tutto originale per mostrare questa proprietà e dimostrala, seppur empiricamente. La bellezza della loro scoperta è soprattutto il fatto che sia nata spontaneamente da una loro congettura fatta utilizzando il materiale e dalla condivisione di un’idea che è stata poi generalizzata.
L’unione fa la forza, insomma! E il laboratorio ha fatto davvero la differenza!
E raccontare questa storia vuole essere di supporto e di sostegno a tutti quegli insegnanti che come me si affannano nel cercare di proporre in classe quante più esperienze di laboratorio matematico autentico possano e spesso sono sopraffatte dalla fatica della gestione di questi momenti, dai dubbi nel vedere altri insegnanti procedere in modalità più tradizionali che si sentono più tranquilli e decisi, dall’insicurezza nel costruire situazioni in cui si sa dove si parte ma non si sa mai dove si arriverà né soprattutto quando…
Ecco, sì, nonostante tutto ne vale la pena! È una fatica immensa, ma guardate quanto lontano si può arrivare! Guardate che tipo di percorso solido si può costruire!
E non sarà sempre così, io ad esempio ho due classi quarte quest’anno, ne ho avute tante altre prima di queste, ma una cosa del genere è la prima volta che mi capita nella mia carriera! Eppure sì, ne vale comunque la pena! È il modo che può portare i bambini a diventare artefici veri del loro apprendimento. Non importa che diventino dei “piccoli Friedrich”, l’importante è che imparino a costruire passo passo il proprio percorso.
Vorrei concludere questo articolo citando alcuni contributi che sono arrivati rispetto al nostro piccolo teorema. Bellissime dimostrazioni, intuizioni, generalizzazioni, collegamenti ad altri aspetti della realtà, riflessioni…insomma, tante cose belle che possono servire per approfondire e che arricchiscono fortemente questo lavoro!
Non c’è nulla da fare, la condivisione arricchisce, sempre! E questo è meraviglioso!
Chiunque voglia ancora inviare la propria dimostrazione, il proprio punto di vista o il proprio approfondimento sarà aggiunto a questa lista molto volentieri.
Ringrazio tutti, in primo luogo Antonella Castellini e Fabio Bernasconi, ma anche tutti coloro che ci hanno supportato in questa straordinaria esperienza!
La mia semplice dimostrazione ricostruita partendo dai passi fatti da Antonella:
Dimostrazione di Dario Olivieri:
Sperando di farvi cosa gradita (visto che i giornali non hanno riportato un eventuale dimostrazione).
Sicuro che in realtà sia già stato dimostrato da un’altra persona, vi vorrei solo informare che la vostra scoperta è valida e dimostrata in queste poche righe.
La vostra classe ha scoperto che dati i numeri triangolari per x>=1 che possiamo chiamare S(x) appartenenti a T. (Dove S(x) è la somma di tutti i numeri naturali da 1 a x inclusi)
Si verificano potenzialmente vere queste due condizioni:
3*S(x) + S(x+1) appartiene a T
3*S(x) + S(x-1) appartiene a T (con x>=2)
In particolare sembrerebbe che
A
3*S(x) +S(x-1) = S(2x)
B
3*S(x) +S(x+1) = S(2x+1)
Bisogna ricordare che la somma dei numeri fino a x se sommata a (x+1) è uguale alla somma dei numeri fino a x+1.
Q
S(x) + (x+1) := S(x+1)
Da cui segue
G
S(x) – x = S(x-1) con x>=2
Espandendo 3*S(x)
A
S(x) + S(x) + S(x) +S(x-1) = S(2x)
Applico G
S(x) + S(x) + S(x) +S(x) – x = S(2x)
B
S(x) + S(x) + S(x) +S(x+1) = S(2x+1)
Applico Q
S(x) + S(x) + S(x) +S(x) + (x+1) = S(2x+1)
Chiamiamo 4*S(x) = §
Allora in modo un po’ più agevole,
La A diventa e ora abbiamo P
§-x=S(2x)
Applicando Q alla B otteniamo
§+(x+1)=S(2x+1)=S(2x)+(2x+1)
Segue
§+(x+1)=S(2x)+(2x+1)
Applicando P
§+(x+1)=§-x+(2x+1)
(x+1)=-x+(2x+1)
2x+1=2x+1
1=1
CVD.
Dimostrato. (Per x >= 2)
Per x=1 vale solo uno dei due casi e si lascia al lettore la sua verifica immediata.
Cordialmente,
Grazie,
Dario Oliveri
Dimostrazione di Filippo Cena, uno studente di 19 anni:
Maurizio Codogno su MaddMaths parla di noi così:
Anche su GreenMe si parla di noi:
Anche la ProfGianca su Instagram ci ha dedicato qualche reel:
https://www.instagram.com/reel/DMAO0Xjtxyx/?hl=zh-cn
Dimostrazione di Martino Marangon, studente al primo anno del Liceo Scientifico Calini di Brescia:
Dimostrazione e contributo di Alfredo Tifi:
Ho compattato il teorema generale per i triangolari e come una singola identità, che chiunque può verificare, che vale sia per b intero sia positivo che negativo (in Z)
Si tratta di una generalizzazione: se invece di prendere il numero triangolare successivo o precedente prendi quello che viene due posti dopo o prima, tre posti dopo o prima o qualunque altro e lo sommi al numero triangolare dato moltiplicato per un opportuno numero dato da b²-1 (che vale 3 se b è +1 o -1) dove b è il numero di posti dopo o prima se negativo) ottieni un altro numero triangolare (e puoi trovare quale sia). Ora che l’ho trovato dimostrare che è vero è facile: basta calcolare i due membri dell’identità.
Contributo di Giorgio Castiglioni:
Complimenti per il lavoro con i numeri triangolari.
Ho visto che nel vostro cartellone, per l’applicazione delle vostre formule, parlate di posizioni dispari e pari. Posso suggerire una cosa in più sulle posizioni? (Che magari comunque avete già scoperto.)
Mettiamo in fila i numeri triangolari:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, …
Ne scegliamo uno e contiamo in quale posizione è. Da lì contiamo altrettante posizioni e annotiamo quel numero e quello successivo. Applichiamo la vostra formula al numero scelto nelle due versioni e troveremo i numeri che avevano annotato.
Per esempio, immaginiamo di scegliere il 15.
La sua posizione è la 5. Ne contiamo altre 5 e annotiamo il numero che troviamo e quello successivo, ovvero 55 e 66.
Applichiamo le vostre formule:
3*15+10 = 55
3*15+21 = 66
Oppure scegliamo il 45, che è in posizione 9. Contiamo altri 9 e annotiamo il numero che troviamo e quello successivo: 171 e 190.
Applichiamo le vostre formule:
3*45+36 = 171
3*45+55 = 190
Non sono un matematico, ma credo che sia una regola valida universalmente per i numeri triangolari e che in termini generali si possa dire che le vostre formule applicate al numero triangolare di ordine n danno come risultato il numero triangolare di ordine 2n e quello di ordine 2n+1.
Contributo di Alfonso D’Ambrosio:
Ho trovato tante analogie anche con la fisica e trovato nuove connessioni.
Nel moto con accelerazione costante e velocità iniziale nulla, la somma degli spostamenti nei singoli secondi forma esattamente la successione dei numeri triangolari. Ad esempio, dopo 1s → 1m, dopo 2s → 3m, dopo 3s → 6m…
Conclusione: la posizione del corpo cresce secondo i numeri triangolari. Un bellissimo ponte tra matematica e cinematica.
In fisica quantistica, la distribuzione degli orbitali (s, p, d, f…) segue regolarità simili alle successioni figurate. I livelli energetici, visualizzati a gradini crescenti, possono essere modellati come somme successive di stati: una struttura a “piramide numerica” in cui i numeri triangolari trovano un’analogia visiva.
Nella disposizione densa di particelle o atomi (come in un cristallo bidimensionale), la configurazione più stabile prevede una base triangolare. La somma delle particelle nei livelli di una pila perfettamente ordinata è, ancora una volta, un numero triangolare.
Nei percorsi divulgativi o nella didattica della fisica, i numeri triangolari possono essere usati per rappresentare i livelli energetici discreti: ogni nuovo livello è più “largo” del precedente, esattamente come nella successione 1, 3, 6, 10…
Faccia i miei super complimenti ai suoi bambini!
Contributo di Marco Pavone, docente di Analisi Matematica, Università di Palermo
La prima osservazione che vorrei fare è che, oltre alla proprietà scoperta dai bambini, vale anche il viceversa. Il teorema può quindi essere enunciato in modo più completo come segue. Sia T(n) = 1+2+3+…+n per ogni intero positivo n.
“Sommando il triplo di un numero triangolare al numero triangolare precedente, oppure al successivo, si ottiene sempre un altro numero triangolare. Viceversa, ogni numero triangolare T(m), con m maggiore o uguale a 3, si ottiene in modo unico in uno dei due modi precedenti. Più precisamente, per ogni intero positivo n, T(2n+1) = 3T(n)+T(n+1), e, per ogni intero n>1, T(2n) = 3T(n)+T(n-1).”
Questa formulazione è volutamente ridondante per evidenziare il fatto che, oltre al teorema della 4^C, è vero anche il suo viceversa. È ovvio che, in realtà, la formulazione precedente può essere sostituita semplicemente con la seguente.
“Per ogni intero positivo n, T(2n+1) = 3T(n)+T(n+1), e, per ogni intero n>1, T(2n) = 3T(n)+T(n-1).”
Leggendo le uguaglianze da destra a sinistra, si ha il teorema della 4^C, mentre, leggendole da sinistra a destra, si trova che ogni numero triangolare T(m), con m maggiore o uguale a 3, si può scrivere nella forma desiderata.
È istruttivo che i bambini imparino che alcuni teoremi si possono enunciare soltanto con un “se”, mentre altri con un “se e solo se”. Ad esempio, “Se un numero è multiplo di 4, allora è pari” (ma non viceversa), e “Un numero è multiplo di 6 se e solo se è pari e multiplo di 3”.
Il teorema della 4^C è in realtà un teorema con il se e solo se, quindi è senz’altro più “forte” di come è stato enunciato finora.
Per quanto riguarda la dimostrazione, la maggior parte delle dimostrazioni che ho trovato nel blog utilizzano il fatto che T(n) si può riscrivere come coefficiente binomiale “n+1 su 2”, cioè come n(n+1)/2. Ciò è assolutamente legittimo e corretto, e, inoltre, tali dimostrazioni servivano a “mettere in sicurezza” il teorema in un momento in cui era necessario stabilire se la proprietà in questione valesse solo in alcuni casi particolari, o sempre. Una volta assodato che il teorema è vero, è però naturale chiedersi se è possibile darne dimostrazioni più elementari e “illuminanti”.
A tal proposito, la definizione di T(n) = 1+2+3+…+n esprime un concetto più elementare rispetto a quello di coefficiente binomiale. Secondo me, la dimostrazione di un teorema è particolarmente “elegante” se usa mezzi “poveri” ed elementari, e se la costruzione fatta aiuta in qualche modo a ricordare e a “visualizzare” la proprietà enunciata nel teorema. Penso ad esempio alla bellissima e illuminante dimostrazione del teorema di Pitagora ottenuta inserendo i tre quadrati costruiti sui cateti e sull’ipotenusa all’interno di un quadratone più grande:
https://inchiostrovirtuale.it/wp-content/uploads/2017/09/Bhaskara.png
La dimostrazione del nostro teorema, fatta con i coefficienti binomiali, oltre a utilizzare mezzi meno poveri rispetto alla definizione di T(n), funziona e basta, senza rivelare alcunché sul perché la proprietà è vera.
Vorrei proporre allora una dimostrazione elementare che utilizza soltanto la definizione di T(n), e che si ispira alla costruzione geometrica fatta dai bambini, ricostruendo algebricamente i sottotriangoli di cui si compone ogni numero triangolare (rappresentato come triangolo costruito con i cubetti di plastica a incastro).
Dimostro soltanto l’identità T(2n) = 3T(n)+T(n-1). La dimostrazione dell’altra identità, cioè di T(2n+1) = 3T(n)+T(n+1), è quasi identica (e viene lasciata al volenteroso lettore!).
È un bell’esempio di quello che, nella matematica combinatoria, si chiama “double-counting argument”: si prendono m oggetti e li si raggruppano in due modi diversi, in modo tale da ottenere una formula in cui si uguagliano due numeri scritti in modo diverso (ma entrambi uguali a m). Ad esempio, il numero 6 possiamo pensarlo come 2+2+2, ma anche come 3+3, per cui otteniamo la formula 2×3=3×2, cioè la proprietà commutativa.
Anche questo è un tipo di approccio estremamente istruttivo per i bambini: imparare a vedere una stessa cosa da due punti di vista diversi e metterli in relazione. I nostri antenati lo facevano regolarmente (si pensi alla precedente dimostrazione del teorema di Pitagora). Anche la dimostrazione del piccolo Gauss funziona esattamente allo stesso modo: raggruppare 2(1+2+…+n) oggetti prima in due sottoinsiemi da 1+2+…+n oggetti, e poi in n sottoinsiemi da n+1 oggetti.
Nel nostro caso, pensiamo a
T(2n) = 1+2+…+n+n+1+…+2n
come al numero totale di quadratini del triangolo “rettangolo-isoscele” in figura. Prendendo prima 1, poi 2, poi 3, … , poi 2n, in pratica stiamo raggruppando i T(2n) quadratini del triangolo per riga, a partire dall’alto, cioè prendendo prima l’unico quadratino giallo nella prima riga più in alto, poi i due quadratini gialli nella seconda riga, e così via, fino a prendere i 2n quadratini nella riga più in basso (in figura ho preso n=5). Quando scriviamo 1+2+…+n, prendiamo soltanto quadratini gialli. A partire da n+1, cominciamo a prendere quadratini di colore diverso. Ad esempio, nella prima riga che incontriamo sotto il triangolo giallo, abbiamo 1 quadratino verde, n-1 quadratini bianchi e 1 quadratino arancione, fino ad arrivare, nell’ultima riga in basso, a n quadratini verdi e n quadratini arancioni. Scriviamo allora T(2n) come segue, dove ogni carattere x in grassetto rappresenta un quadratino verde, ogni carattere x in corsivo rappresenta un quadratino bianco, e ogni carattere x sottolineato rappresenta un quadratino arancione.
T(2n) = (1+2+…+n) + (n+1) + (n+2) +…+ (2n-1) + 2n
= (1+2+…+n) + (1+(n-1)+1) + (2+(n-2)+2) + … + ((n-1)+1+(n-1)) + (n+n).
Ora la somma dei numeri in grassetto e la somma dei numeri sottolineati sono entrambe uguali a 1+2+…+n, mentre la somma dei numeri in corsivo è uguale a 1+2+…+n-1. Raggruppando gli addendi in modo diverso (cioè, per gli addetti ai lavori, applicando le proprietà commutativa e associativa), si ottiene
T(2n) = 3(1+2+…+n) + (1+2+…+n-1)
= 3T(n)+T(n-1),
che è ciò che dovevamo dimostrare.
Concludo con una dimostrazione alternativa, di tipo puramente combinatorio, in cui stavolta i coefficienti binomiali diventano essenziali. Anche questa è una dimostrazione “costruttiva”, che può aiutare a ricordare l’enunciato del teorema.
Ricordo che, dato un intero positivo m>1, il coefficiente binomiale “m su 2” (= m(m-1)/2) ci dice quanti sono, in un insieme con m elementi, i sottoinsiemi con due elementi.
Ora l’identità T(2n) = 3T(n)+T(n-1) puo’ essere riscritta come
“2n+1 su 2” = 3(“n+1 su 2”) + “n su 2”.
Siano A e B due insiemi disgiunti, con n+1 elementi e n elementi, rispettivamente, e sia C l’unione insiemistica di A e B (con 2n+1 elementi). Allora “2n+1 su 2” è il numero di sottoinsiemi di C con due elementi. Ci sono tre possibilità:
- i due elementi sono entrambi in A (“n+1 su 2” sottoinsiemi);
- i due elementi sono entrambi in B (“n su 2” sottoinsiemi);
- i due elementi sono uno in A e uno in B ((n+1)n sottoinsiemi, cioè 2″n+1 su 2″ sottoinsiemi).
Quindi, in totale, C ha 3(“n+1 su 2”) + “n su 2” sottoinsiemi con due elementi.
Dimostriamo infine l’identità T(2n+1) = 3T(n)+T(n+1), che può essere riscritta come
“2n+2 su 2” = 3(“n+1 su 2”) + “n+2 su 2”.
Consideriamo gli insiemi A = {a0, a1,…, an, x} e B = {b1,…, bn, x}, che abbiano soltanto l’elemento x in comune. Sia C = {a0, a1,…, an, b1,…, bn, x} l’unione di A e B. Come si ottengono i “2n+1 su 2” sottoinsiemi di C con due elementi? Ci sono tre possibilità:
- i due elementi sono entrambi in A (“n+2 su 2” sottinsiemi);
- i due elementi sono entrambi in B (“n+1 su 2” sottinsiemi);
- i due elementi sono uno in {a0,a1,…, an} e uno in {b1,…, bn} ((n+1)n sottoinsiemi, cioè 2(“n+1 su 2”) sottoinsiemi).
Quindi, in totale, C ha 3(“n+1 su 2”) + “n+2 su 2” sottoinsiemi con due elementi.
Contributo di Marcus Barao:
Contributo di Gianni Giacomini:
Contributo di Angela Maria Profeta:
… mi fa pensare a George Dantzig e al “pensare positivo”.
La bellezza, l’incanto dell’imparare!
…La ragione per cui lo studente riuscì a risolvere il problema è che non aveva mai sentito il docente dire: “Nessuno è mai riuscito a risolverlo.” Al contrario, credeva che fosse un problema degno di essere affrontato, e lo fece con determinazione, senza farsi influenzare dalle difficoltà.
Grazie a tutti!!!